Nata nel 1959 a Cork, Irlanda. Si è diplomata come ingegnere civile all'University College di Cork nel 1980 e ha lavorato con Delap & Waller, Roughton & Partners e Arup. Ha inoltre conseguito un diploma superiore in ingegneria ambientale nel 1996. Clune è stata membro del Parlamento irlandese (1997-2002, 2007-2011) e della Camera alta del Parlamento (2011-2014). È stata eletta sindaco di Cork nel 2005. Durante la sua permanenza in Parlamento, è stata vice portavoce per le imprese, con particolare responsabilità per l'innovazione. È stata anche portavoce del Fine Gael per l'informazione e la protezione dell'ambiente, le arti, il patrimonio, la "Gaeltacht" e le isole. Deputato al Parlamento europeo dal 2014.