Sündinud 1959. aastal Corkis, Iirimaal. Clune omandas ehitusinseneri kutse Corki Ülikooli kolledžis 1980. aastal ning on töötanud ettevõtetes Delap & Waller, Roughton & Partners ja Arup. Ta omandas 1996. aastal ka kõrgema keskkonnatehnika diplomi. Clune on endine Iirimaa parlamendi liige (1997-2002, 2007-2011) ja parlamendi ülemkoja liige (2011-2014). Ta valiti 2005. aastal Corki linnapeaks. Parlamendis töötades oli ta ettevõtluse eest vastutava aseesimehe asetäitja, kes oli vastutav eelkõige innovatsiooni eest. Ta oli ka Fine Gael'i keskkonnateabe ja -kaitse, kunsti, kultuuripärandi, Gaeltachti ja saarte eestkõneleja. Euroopa Parlamendi liige alates 2014. aastast.