Syntynyt vuonna 1959 Corkissa, Irlannissa. Clune valmistui rakennusinsinööriksi University College Corkista vuonna 1980, ja hän on työskennellyt Delap & Wallerin, Roughton & Partnersin ja Arupin palveluksessa. Hän suoritti myös ympäristötekniikan ylemmän korkeakoulututkinnon vuonna 1996. Clune on entinen Irlannin parlamentin jäsen (1997-2002, 2007-2011) ja parlamentin ylähuoneen jäsen (2011-2014). Hänet valittiin Corkin kaupungin pormestariksi vuonna 2005. Parlamentissa ollessaan hän toimi yritystoiminnan varapuheenjohtajana, jonka erityisvastuualueena olivat innovaatiot. Hän oli myös Fine Gaelin edustaja ympäristötiedon ja -suojelun, taiteen, kulttuuriperinnön, gaeltachtin ja saarten aloilla. Euroopan parlamentin jäsen vuodesta 2014.